[WiSe 2025/26] Ergänzende Aspekte der Mathematik I: Grundstrukturen der Mathematik

Inhalt

Ein wichtiges Ziel dieser Vorlesung ist die Entwicklung von Mathematik in mehrfacher Hinsicht zu zeigen. Neben Einblicken in den formal-deduktiven Aufbau der Mathematik und ihrer eigenen Erkenntnismethoden sollen diese (teilweise) abstrakten Beschreibungen zumindest an einzelnen Beispielen vorher gefühlt nacherlebt werden können:

  1.  Das Studium geometrischer Abbildungen führt einerseits bei der Betrachtung von Bewegungen der Ebene zu dem mathematischen Begriff der Gruppe (i.A. nicht kommutativ) und andererseits bei der Betrachtung von Drehstreckungen zu einer geometrischen Perspektive auf die komplexen Zahlen.

  2. Der Euklidische Algorithmus hat weitreichende zahlentheoretische Konsequenzen und lässt sich verallgemeinert der algebraischen Struktur des Euklidischen Rings (insbesondere dem Polynomring mit der Polynomdivision). Darüberhinaus ist er von entscheidender Bedeutung bei der Klassifikation der zyklischen Gruppen, bei der deutlich wird, dass die ganzen Zahlen Z sowie die Restklassenringe $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ bis auf Isomorphie die einzigen zyklischen Gruppen sind.

  3. Die Zahlbereichserweiterungen können auf mindestens zwei verschiedene Art und Weisen betrachtet werden. Der Übergang von $\mathbb{N}$ nach $\mathbb{Z}$ ist(a) einerseits durch Hinzufügen von Elementen dadurch charakterisiert, dass nun für alle $n\in \mathbb{N}$ die Gleichung $n+ x = 0$ (eindeutig) lösbar wird, (b) und andererseits aus Sicht der Gruppentheorie, dass für alle $n\in \mathbb{N}$ nun ein additiv inverses Element existiert. Durch das Hinzufügen der additiv inversen Elemente (negative Zahlen) gehen wir von $\mathbb{N}$ nach $\mathbb{Z}$ und erhalten eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition.

Das Erweitern des Zahlbereichs aus Sicht der Strukturmathematik findet dann mithilfe von direkten Produkten und Äquivalenzrelationen statt. Dieses Vorgehen findet analog auch bei anderen Zahlbereichserweiterungen (z.B. $\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$) statt.

Die Vorlesung findet wöchentlich zweimal statt und umfasst 10 LP.