Course information

Die Veranstaltung richtet sich an Personen, deren Interesse im Bereich Physikalische und Theoretische Chemie angesiedelt ist. Es handelt sich um eine Wahlveranstaltung, die nach Rücksprache mit dem Dozenten ggf. für den Wahlpflichtbereich "Physikalische und Theoretische Chemie" genutzt werden kann.

Die Vorlesung gliedert sich in vier große Kapitel:

1. Vektoren und Vektorfelder
2. Vektorräume
3. Variationsrechnung
4. Elemente der Funktionentheorie

Wo die Thematik es zulässt, werden Bezüge zu Themengebieten der Physikalischen oder Theoretischen Chemie aufgezeigt. Für jedes der vier Kapitel sind nur Vorkenntnisse aus den Vorlesungen Mathematik I und II des Bachelorstudiums Chemie erforderlich. Die Veranstaltung geht jedoch deutlich über diese Kenntnisse hinaus. Um den Zugang zum Stoff zu erleichtern wird ein detailliertes Skript, sowie Literatur zur Verfügung gestellt, auf der der Vorlesungsstoff beruht.

Im 1. Kapitel wird es, ausgehend von bekannten Rechenoperationen wie Skalar- und Vektorprodukt euklidischer Vektoren dann um detaillierte Diskussionen von Rotationen im Raum gehen. Ein größeres Kapitels wird danach der Vektoranalysis gewidmet, wo es um die Differentiation von Skalar- und Vektorfeldern geht. Das Kapitel endet mit einer Einführung in den Begriff des kartesischen Tensors.

Das zweite Kapitel erweitert den Begriff von Vektoren im herkömmlichen euklidischen Raum auf abstrakte Vektorräume, in denen nur bestimmte Verknüpfungen zwischen den Objekten dieser Räume (z.B. n-Tupel von Zahlen oder auch reelle und komplexe Funktionen) gibt. Wir lernen das innere Produkt solcher Räume kennen, das einen engen Bezug zur Dirac-Notation in der Quantenmechanik besitzt. Es geht des weiteren um adjungierte, unitäre und orthogonale Transformationen, die wichtig sind für die in der Quantenmechanik wichtige Klasse der dort auftretenden Operatoren.

Das dritte Kapitel gibt eine Einführung in die Variationsrechnung, in dem wir zum Schluß die stationäre Schrödingergleichung für nichtrelativistische Teilchen aus einem fundamentalen Extremalprinzip herleiten, dem die so genannte Euler-Lagrange Gleichung zugrunde liegt.

Im abschließenden vierten Kapitel werden Elemente der Theorie komplexer Funktionen eingeführt, mit deren Hilfe ansonsten schwierig zu berechnender Integrale reeller Funktionen leicht berechnet werden können, da man sich in der komplexen (zweidimensionalen) Zahlenebene und nicht entlang des (eindimensionalen) Zahlenstrahls bewegt, auf dem reelle Funktionen existieren. Eine besonders nützliche Anwendung dieser Theorie liegt in der Auswertung experimenteller Daten komplexer Funktionen. Beispiele für solche Funktionen sind etwa Brechungsindizes oder Streuamplituden. Experimentell sind natürlich nur Daten für den Realteil dieser Größen zugänglich. Mit Hilfe von Hilbert-Transformationen kann man aus dieser begrenzten Information die Form des Imaginärteils der komplexen Größen berechnen. 

Des Weiteren steht der Dozent zu individuell zu vereinbarenden Gesprächen über den Vorlesungsstoff zur Verfügung, um Verständnisprobleme oder mathematische Detailfragen zu klären..