Informations du cours

Content

The subject of this lecture are initial-boundary value problems for partial differential equations describing instationary processes. Using the variational approach and the theory of monotone operators, linear and nonlinear evolution equations of first and second order are studied.
In addition to statements on the existence, uniqueness and stability of solutions, aspects of the approximation of solutions are also discussed. Equations of fluid mechanics (Navier-Stokes equations, generalized Newtonian fluids) and elasticity theory and mechanics (vibrating membrane with damping) are considered as applications.
Bochner integral and Bochner-Lebesgue spaces, Gelfand triplets, Sobolev spaces for abstract functions, and compactness arguments for families of abstract functions (Lions-Aubin theorem and generalizations), among others, are provided as functional analytical foundations.

The lecture will be held twice a week and is worth 10 ECTS.

Prerequisites

Differential Equations I, II A/B or equivalent knowledge. Knowledge from functional analysis is advantageous.

Inhalt

Diese Vorlesung beschäftigt sich mit Anfangs-Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen, die instationäre Prozesse beschreiben. Mit Hilfe des variationellen Ansatzes und der Theorie monotoner Operatoren werden lineare und nichtlineare Evolutionsgleichungen erster und zweiter Ordnung untersucht.
Abgesehen von Ergebnissen zur Existenz, Einzigkeit und Stabilität von Lösungen wird die Approximation von Lösungen diskutiert. Als Beispiele dienen hierbei Gleichungen der Fluidmechanik wie die Navier-Stokes-Gleichungen (auch für verallgemeinerte Newtonsche Fluide) und Gleichungen aus der Elastizitätstheorie und Mechanik, beispielsweise für eine vibrierende Membran mit Dämpfung.
Die Vorlesung startet mit einer Einführung in wichtige funktionalanalytische Grundlagen wie das Bochner-Integral, Bochner-Lebesgue-Räume, Gelfand-Dreier und Kompaktheitsargumente für Familien von abstrakten Funktionen wie das Lemma von Lions-Aubin und dessen Verallgemeinerungen.

Die Vorlesung findet zweimal wöchentlich statt und umfasst 10 LP.

Voraussetzungen

Differentialgleichungen I, II A/B oder äquivalente Kenntnisse. Wissen aus der Funktionanalysis ist hilfreich.